$\S 8.1 $ 二重积分的概念与性质

二重积分的概念

概念略

定理 8.1 (可积的必要条件) 若函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积,则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界

定理 8.2 (可积的充分条件) 若 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的连续函数,则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。

 

$\S 8.2$ 二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算

x 型域下Df(x,y)dσ=abdxφ1(x)φ2(x)f(x,y)dyy 型域下Df(x,y)dσ=cddyψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
屏幕截图 2023-05-28 180300屏幕截图 2023-05-28 180308

 

极坐标系下二重积分的计算

极坐标变换:

{x=rcosθy=rsinθDDrθ

二重积分转换为:

Df(x,y)dσ=Drθf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=αβdθr1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr

一般的,当积分域 $D$ 是圆域或圆域的一部分(如版圆盘、扇形、圆环域等),且被积函数 $f(x,y)$ 有 $g(x^2+y^2)$ 或 $g(\frac{y}{x})$ 的形式时,用极坐标系计算二重积分是比较合适的。

二重积分的换元法

换元(其实也是一种坐标变换):

{x=x(u,v)y=y(u,v)DDuv

还需满足:

  1. $x(u,v),y(u,v)$ 在 $D_{uv}$ 上具有一阶连续偏导数;
  2. 在 $D_{uv}$ 上 $\mathrm{Jacobi}$ 行列式
    J=(x,y)(u,v)=|xuxvyuyv|0,  (u,v)Duv,

则有二重积分的换元公式

Df(x,y)dσ=Duvf(x(u,v),y(u,v))|J|dudv

例如,极坐标系变换就是一种换元。 $J=r$.

还需要记住的有广义极坐标变换

{x=arcosθy=brsinθDDrθJ=abr

二重积分的几何意义

有关二重积分的几何意义,将统一放到8.8里讲述。

$\S 8.3$ 三重积分

直角坐标系下的三重积分计算

坐标面投影法

xy 型域下Vf(x,y,z)dV=Dxydxdyz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz.

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先二后一法

适用条件:某一轴平行截取物体的上下部分。

Vf(x,y,z)dV=abdzDzf(x,y,z)dxdy.

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三重积分的换元法

换元:

{x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w)DDuvwJ0换元后的函数一阶偏导连续

则有三重积分的换元计算公式

Vf(x,y,z)dV=Duvwf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw

柱面坐标系下三重积分的计算

点 $P$ 的直角坐标与柱面坐标的关系为

{x=rcosθy=rsinθz=zJ=r

三重积分在柱面坐标系下的变换公式

Vf(x,y,z)dV=Drθzf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz

一般而言,当被积函数具有 $g=(x^2+y^2,z)$ 的形式,而积分域 $V$ 是以 $z$ 轴为旋转轴的旋转体或旋转体的一部分时,利用柱面坐标计算三重积分比较简单。

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球面坐标系下三重积分的计算

点 $P$ 的直角坐标与球面坐标的关系为

{x=ρsinφcosθy=ρsinφsinθz=ρcosφJ=ρ2sinφ

三重积分在柱面坐标系下的变换公式

Vf(x,y,z)dV=Dρφθf(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ

一般而言,当被积函数具有 $g=(x^2+y^2+z^2)$ 的形式,而积分域 $V$ 为球体或球体的一部分(如半球、球壳等)时,利用球面坐标计算三重积分比较简单。

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$\S 8.4$ 第一型曲线积分

第一型曲线积分的计算

若空间曲线 $L$ 的参数方程为

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)  (αtβ)

当 $x(t),y(t),z(t)$ 在 [$\alpha,\beta$] 上具有一阶连续导数,且 $x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)\not\equiv 0$ ,函数 $f(x,y,z)$ 在 $L$ 上连续,则曲线积分 $\displaystyle\int_L f(x,y,z)\mathrm{d}s$ 存在,且

Lf(x,y,z)ds=αβf(x(t),y(t),z(t))x2(t)+y2(t)+z2(t) dt

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$\S 8.5$ 第一型曲面积分

第一型曲面积分的计算

设曲面 $S$ 的方程为

z=z(x,y),  (x,y)Dxy

Sf(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2(x,y)+zy2(x,y)dxdy

$\S 8.6$ 几何与物理应用举例

二重积分的几何意义

二重积分 $\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$ 的几何意义是:积分域 $D$ 上的平面薄板,其面密度为 $f(x,y)$ ,则二重积分为该平面薄板的质量。当 $f(x,y)=1$ 时,二重积分数值上即为积分域 $D$ 的面积。

另一个几何意义是:对于一个曲顶柱体,其 $xOy$ 平面的投影是有界闭区域 $D$ ,顶部满足方程 $f(x,y)$ ,则二重积分为该曲顶柱体的体积。

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曲面的面积(第一型曲面积分的特殊情况)

利用二重积分不仅可以计算立体的体积和平面图形的面积,也可以计算曲面的面积。

对于一个曲面 $S$

z=z(x,y),  (x,y)Dxy

证明过程略,直接给出求曲面面积的二重积分公式

S=Dxy1+zx2(x,y)+zy2(x,y)dxdy

对于 $x=x(y,z),\,\,y=y(x,z)$ 的形式同理,不再列出。

事实上,这就是第一型曲面积分在被积函数为 1 时的情况。

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三重积分的几何意义

三重积分 $\displaystyle\iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV$ 的几何意义是:积分域 $V$ 上的块状物体,其体密度为 $f(x,y,z)$ ,则三重积分为该物体的质量。当被积函数 $f(x,y,z)=1$ 时,三重积分数值上即为积分域 $V$ 的体积

第一型曲线积分的几何意义

第一型曲线积分 $\displaystyle\int_{L}f(x,y)ds$ 的几何意义是:光滑曲线 $L$ 在点 $(x,y)$ 处的质量线密度为 $f(x,y)$ ,则第一型曲线积分为该曲线的质量。当被积函数为 $f(x,y)=1$ 时,第一型曲线积分数值上等于曲线的长度

另一个几何意义是:对于一个柱面 $S$ ,它的母线平行于 $z$ 轴,准纤维 $xOy$ 平面上的曲线段 $L$ 。柱面的高度为 $f(x,y)$ ,则第一型曲线积分为该柱面的面积。

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第一型曲面积分的几何意义

第一型曲线积分 $\displaystyle\iint\limits_{S}f(x,y,z)dS$ 的几何意义是:光滑曲面 $S$ 在点 $(x,y,z)$ 处的质量面密度为 $f(x,y,z)$ ,则第一型曲面积分为该曲面的质量。当被积函数 $f(x,y,z)=1$ 时,第一型曲面积分数值上等于曲面的面积

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静矩

什么是静矩?对于一个质点 $(x,y,z)$ ,则称 $M_{xy}=m \cdot z$ 为该质点对 $xOy$ 坐标面的静矩。

那么对一个物体 $V$ ,其体密度函数为 $\rho(x,y,z)$ ,则整个物体对 $xOy,yOz,xOz$ 坐标面的静矩分别为

Mxy=Vzρ(x,y,z)dVMyz=Vxρ(x,y,z)dVMxz=Vyρ(x,y,z)dV

对一个平面薄板 $S$ ,其面密度函数为 $\rho(x,y)$ ,则整个物体对 $x,y$ 轴的静矩分别为

Mx=Dyρ(x,y)dσMy=Dxρ(x,y)dσ

质心

对一个物体 $V$ ,其体密度函数为 $\rho(x,y,z)$ ,则该物体的质心坐标计算公式为:

x=Myzm=Vxρ(x,y,z)dVVρ(x,y,z)dVy=Mxzm=Vyρ(x,y,z)dVVρ(x,y,z)dVz=Mxym=Vzρ(x,y,z)dVVρ(x,y,z)dV

对一个平面薄板 $S$ ,其面密度函数为 $\rho(x,y)$ ,则该平板状物体的质心坐标计算公式为:

x=Mym=Dxρ(x,y)dσDρ(x,y)dσy=Mxm=Dyρ(x,y)dσDρ(x,y)dσ

转动惯量

力学上称 $I_l=m \cdot r^2$ 为该质点对定轴 $l$ 的转动惯量。

对一个物体 $V$ ,其体密度函数为 $\rho(x,y,z)$ ,则该物体的对 $x,y,z$ 轴的转动惯量分别为:

Ix=V(y2+z2)ρ(x,y,z)dVIy=V(x2+z2)ρ(x,y,z)dVIz=V(x2+y2)ρ(x,y,z)dV

对一个平面薄板 $D$ ,其面密度函数为 $\rho(x,y)$ ,则该平板状物体对 $x,y$ 轴的转动惯量分别为:

Ix=Dy2ρ(x,y)dσIy=Dx2ρ(x,y)dσ

引力

万有引力公式 $F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$,

一个物体 $V$ 对质点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的引力 $F=(F_x,F_y,F_z)$ ,设物体上某一点为 $(x,y,z)$ ,两点之间的距离为 $r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$,则有公式:

Fx=VFx=VGm0ρ(x,y,z)(xx0)r3dVFy=VFy=VGm0ρ(x,y,z)(yy0)r3dVFz=VFz=VGm0ρ(x,y,z)(zz0)r3dV