第 9 章 二次型与二次曲面
9.1 二次型的概念及标准形
二次型
关于 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次齐次函数
f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2
\\
+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}
$$
称为 $n$ 元二次型。
二次型简单说就是有n个变量的二次齐次函数。
系数全为实数的二次型称为实二次型。本书只讨论齐二次型，以后都将其简称为二次型。‘
只含平方项的二次型
g(y_1,y_2,\cdots,y_n)=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdot+d_ny_n^2
$$
称为标准二次型。
在标准二次型的基础上，形如
h(z_1,z_2,\cdots,z_n)=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2
$$
的二次型称为规范二次型。
标准二次型简单说就是二次型的混合项系数全为0
规范二次型简单说就是二次项的混合项系数全为0，其他项是 1，-1，0.
二次型矩阵
我们可以将二次型写成矩阵形式：
f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=
\begin{bmatrix}
x_1,&x_2,& \cdots, &x_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix}
\\
f(x)=x^TAx
$$
当写成这种形式时，有 $a_{ij}=a_{ji}$ . 因此，$A$ 为对称矩阵，称为二次型 $f(x)$ 的矩阵 .
这样，每一个二次型都对应一个二次型矩阵。
对称矩阵 $A$ 的秩叫做二次型的秩。
可以看到， $A$ 一定是实对称矩阵。接下来与二次型有关的大部分概念只局限于实对称矩阵。
通过二次型求二次型矩阵的方法很简单：根据定义逐个对系数项除以二然后填入相应位置就好。
线性变换 正交变换 可逆变换 合同变换
$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$x$ 是 $n$ 元列向量，我们把 $y=Ax$ 叫做从 $n$ 元向量 $x$ 到 $m$ 元向量 $y$ 的线性变换。
当 $A$ 为可逆矩阵时， $y=Ax$ 叫做可逆变换。
当 $Q$ 为正交矩阵时， $y=Ax$ 叫做正交变换。
还记得什么是正交矩阵吗？正交矩阵：满足 $A^TA=E$ 的矩阵。或者描述为 $A$ 的列向量为单位向量（内积为1），且两两正交（互相垂直）。或者描述为 $A^T=A^{-1}$的矩阵。正交矩阵一定是方阵，且可逆。
正交变换有特殊的性质：向量进行正交变换之后，它内积，长度，夹角都不变，即几何图形不变。
对二次型进行可逆变换
x=Py
\\
f(x)=x^TAx=(Py)^TA(Py)=y^T \, (P^TAP)\,y
\\
P^TAP=B
$$
得到一个新二次型 $g(x)=y^TBy$ ，其中 $B=P^TAP$ .
对于 $n$ 阶方阵 $A$ 与 $B$ ，若存在可逆矩阵 $P$ ，使 $B=P^TAP$，则称 $A$ 与 $B$ 合同（也称 $A$ 与 $B$ 相合）；变换 $P^TAP$ 叫做对 $A$ 进行合同变换（也叫做相合变换）。
合同变换不改变矩阵的对称性和秩。
化为标准形
二次型可以通过正交变换 $x=Qy$ 化为标准二次型
g(y)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2
$$
并且，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $A$ 的特征值。
具体到题上，如何将二次型化为标准形呢？
方法一：先找到二次型矩阵 $A$ , 然后按第八章方法求出 $Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ 中的正交矩阵 $Q$ .
方法二：将二次型配方成只剩平方项，再将平方项里的原变量定义为新的变量。（注意，这种变换只是普通的可逆变换）
化为规范形
二次型可以通过可逆线性变换 $x=Py$ 化为规范二次型
h(z)=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-z_{p+2}^2-\cdots-z_{p+q}^2
$$
并且，$p,q$ 是正、负惯性指数。
惯性定理
惯性定理：用任何可逆变换将二次型 $f(x)=x^TAx$ 所化成的标准形 $g(x)=y^TBy$ 的正、负平方项的项数都对应相等.
一个二次型标准形的 正、负平方项的项数 / 对角矩阵正、负对角元个数 / 正、负特征值个数 分别称为该二次型的正、负惯性指数。
实对称矩阵一定相合于对角形矩阵。用任何相合变换将实对称阵化为对角形矩阵的正、负对角元的个数都对应相等 。
实对称矩阵 $A$ 相合于对角矩阵 $\mathrm{diag}(E_p,-E_q,O).$ 称之为是对称矩阵 $A$ 的相合标准形。
正定二次型与正定矩阵
正定矩阵，负定矩阵
若对任意的 $0\ne x\in R^n$ ， $n$ 元二次型都 $f(x)>0$ ，则称二次型 $f(x)$ 是正定二次型；正定二次型的矩阵称为正定矩阵。矩阵表示： $x^T(A^TA)x>0$ .
若对任意的 $0\ne x\in R^n$ ， $n$ 元二次型都 $f(x)<0$ ，则称二次型 $f(x)$ 是负定二次型；负定二次型的矩阵称为负定矩阵。矩阵表示： $x^T(A^TA)x<0$ .
f(x)\text{ 是正定二次型} \Leftrightarrow -f(x)\text{ 是负定二次型}
\\
\\
\text{实对称矩阵 }A\text{ 是正定矩阵} \Leftrightarrow -A\text{ 是负定矩阵}
$$
命题 1 可逆变换不改变二次型正定性
$f(x)$ 为正定二次型 $\Leftrightarrow$ $A$ 为正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值全为正数 $\Leftrightarrow$ $A$ 的正惯性指数为 $n$ $\Leftrightarrow$ $A$ 相合于 $E$ $(P^TAP=E,\,P\text{ 可逆})$ $\Leftrightarrow$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $B$ , 使 $A=B^TB$ .
同时，还有 若$A$ 为正定矩阵 $\Rightarrow$ $A$ 的对角元 $a_i>0$ .
判断 $A$ 为正定矩阵的有效方法——顺序主子式法：
矩阵 $A$ 的左上角 $k$ 阶子阵称为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子阵 , 记作 $A_k$ . $|A_k|$ 叫做 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式 .
则有： 实对称矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的各阶顺序主子式都大于零 .
若 $A,B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，则 $A+B\,,\,cA\,,\,A_k\,,\,A^{-1}$ 都是正定矩阵。
若 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，则一定存在另一个正定矩阵 $B$ 使 $A=B^2$ 。
$f(x)$ 为负定二次型 $\Leftrightarrow$ $A$ 为负定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值全为负数 $\Leftrightarrow$ $A$ 的负惯性指数为 $n$ $\Leftrightarrow$ $A$ 相合于 $-E$ $(P^TAP=-E,\,P\text{ 可逆})$ $\Leftrightarrow$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $B$ , 使 $-A=B^TB$ $\Leftrightarrow$ $\mathbf{A}$ 的偶数阶顺序主子式都大于零，奇数阶顺序主子式都小于零。
$A$ 列满秩当且仅当 $A^TA$ 是正定阵（一个数的平方是正数）。
| 变换形式 | 初等变换（相抵） | 相似变换 | 合同变换（相合） | 正交变换 |
|---|---|---|---|---|
| A → B | $B=P_\text{初等}AQ_\text{初等}$ | $B=P^{-1}AP$ | $B=P^TAP$ | $B=Q^{-1}AQ=Q^TAQ$ |
| 行列式 | \ | = | +/- | = |
| 秩 | = | = | = | = |
| 特征值 | \ | = | +/- | = |
| 对称性 | \ | \ | = | = |
| 标准型 | = | \ | = | = |
| 正定性 | \ | \ | = | = |
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